Théorie des modèles musicaux

Betov (René Tournois)

Les modèles musicaux

Un modèle musical est une présentation d'un sous-ensemble d'une gamme ne prenant en compte ni l'ordre des notes, ni leur temporalité, ni les répétitions éventuelles. Un modèle peut donc se décliner selon tous ses renversements d'accord, arpèges ou lignes mélodiques. On pourrait, bien sûr, rédiger la théorie qui va suivre entièrement en termes d'accords. L'utilisation systématique du concept de modèle veut insister sur le fait que s'il n'existe aucun accord qui ne soit répertoriable et classable, il n'existe aucun mot mélodique qui ne soit répertoriable et classable. De même qu'un écrit est composé de lettres, de mots, de phrases, de paragraphes, etc., de même, le discours musical est fait de notes, d'écarts, de modèles, de phrases, de parties ... On ne parle ni avec des lettres ni avec des syllabes mais avec des mots ; on ne fait pas de musique avec des notes ou avec des écarts mais avec des modèles.

Les trois équivalences

Trois axiomes sont nécessaires à l'établissement d'une théorie musicale, les trois équivalences musicales.

Equivalence de timbre: 

Deux modèles identiques, joués sur deux instruments différents, portent le même nom.

Equivalence d'octave:

Deux modèles identiques, espacés d'une ou plusieurs octaves, portent le même nom.

Equivalence de renversement:

Deux modèles contenant les mêmes notes, mais dans des ordres différents, portent le même nom.

Ces trois équivalences, sans lesquelles aucune approche théorique ne serait envisageable, comportent chacune leur degré d'erreur dans leurs applications pratiques.

L'équivalence de timbre, la moins discutable, est néanmoins relative. Chaque timbre induit un caractère harmonique qui fait qu'on ne sera pas tenté d'écrire la même musique pour tel son acide ou pour tel son bien rond.

L'équivalence d'octave est plus discutable. On sait que la dissonance d'un écart musical est fonction de la proximité d'harmoniques non confondues. Cette proximité apparaît plus facilement dans les aigüs que dans les graves.

L'équivalence de renversement, elle, est totalement fausse. On observe couramment des différences apparentes plus grandes entre deux renversements d'un même accord qu'entre deux accords classés sur des degrés différents et/ou dans des formes différentes.

Les harmoniques

Un son musical se caractérise, en premier lieu, par une vibration périodique exprimée en fréquences par seconde ; c'est la fondamentale du son. Mis à part les sons purs, générés, par exemple, électroniquement, la quasi totalité des sons musicaux comportent, outre la fondamentale, une série d'autres sons de fréquences plus élevées. D'abord les partiels, bruits d'attaque des cordes, mise en mouvement des colonnes d'air dans les tubes, etc. Ensuite les harmoniques qui sont caractérisées par leurs rapports numériques réguliers à la fondamentale.

Pour un son présentant une fréquence de 100 vibrations par seconde, on peut mettre en évidence d'autres fréquences à 200, 300, 400, 500, ... vibrations par seconde. Cette série d'harmoniques est fondatrice de l'organisation musicale.

Le premier concept découlant de l'existence des harmoniques est celui d'octave : toute fréquence correspondant à la fondamentale multipliée par une puissance de deux (dans notre exemple, 200, 400, 800, ...) est percue comme un son très voisin, simplement plus aigü que la fondamentale. Cette consonance, presque égale à celle de deux sons identiques, a conduit les musiciens à donner le même nom à deux notes en rapport d'octave(s). On peut résumer cette observation en disant que la première harmonique, audible sur pratiquement tout instrument de musique, structure l'univers sonore en y opérant une première découpe à l'intérieur de laquelle va s'inscrire le concept de gamme.

La deuxième harmonique présente une fréquence égale à la fondamentale multipliée par 3. Cette nouvelle note, également très consonante est perçue comme nettement différente de la fondamentale et de ses octaves. C'est elle qui fonde toutes les lois de l'harmonie musicale ainsi que la constitution des gammes occidentales modernes.

La gamme chromatique

Proposons-nous de structurer l'univers sonore à l'aide des deux premières harmoniques en mettant en rapport la série des puissances de 2 (première harmonique, donc série des octaves) et celle des puissances de 3 (deuxième harmonique, série de quintes à l'octave).

Puissances de 2        Puissances de 3         écarts

F     1                      1                 0
2     4                1     3                 0.28571
3     8                2     9                 0.11765
5     32               3     27                0.16949
6     64               4     81                0.23448
8     256              5     243               0.05210
10    1024             6     729               0.33657
11    2048             7     2187              0.06564
13    8192             8     6561              0.22111
14    16384            9     19683             0.18294
16    65536            10    59049             0.10414
17    131072           11    177147            0.29898
19    524288           12    531441            0.01355
21    2097152          13    1594323           0.27243
22    4194304          14    4782969           0.13115
24    16777216         15    14348907          0.15603
25    33554432         16    43046720          0.24784
27    134217728        17    129140160         0.03856
29    536870912        18    387420480         0.32338
30    1073741824       19    1162261504        0.07918

Dans ce tableau, les deux premières colonnes représentent un empilement de premières harmoniques, d'abord un numéro d'ordre, le rang, puis les valeurs successivement multipliées par 2 (empilement d'octaves). Les deux colonnes suivantes représentent un empilement de secondes harmoniques, rang, puis valeurs successivement multipliées par 3 (empilement de quintes à l'octave). La dernière colonne est un coefficient de distance entre deux valeurs voisines dans les deux séries, obtenu par la formule :

                  Abs (A - B) / ((A + B) / 2)

Seules les valeurs d'octaves les plus proches des valeurs de quintes sont présentées. On remarque une grande proximité entre la valeur d'octave de dix-neuvième rang et la valeur de quinte de douzième rang :

 19    524288                12    531441                0.01355

Pour trouver deux valeurs plus proches, il faudrait continuer les calculs jusqu'au soixante-cinquième rang d'octave.

Quelle est la signification de ce tableau ? Tout d'abord, présenté sous cette forme, sa valeur est strictement théorique puisque les calculs démarrent avec une fréquence fixée arbitrairement à 1 pour aboutir à plus de 500000. S'agissant d'un nombre de vibrations par secondes, ces deux extrêmes sont largement inaudibles. Dans une application pratique il faut, bien évidemment, rétablir les quintes à l'intérieur d'une octave audible en divisant leurs valeurs par 2 autant de fois que nécessaire.

La différence entre la valeur de la dix-neuvième octave et la valeur de la douzième quinte devient alors audible. Une fréquence de 524 Hertz et une autre de 531 Hertz, par exemple, sont différenciées par l'oreille humaine, bien qu'il ne s'agisse que du cinquième d'un demi ton. Cette imperfection a conduit la plupart des théoriciens de la musique à rejeter toute approche "naturaliste" de la constitution des gammes au profit d'approches plus culturelles.

Dans l'exemple ci-dessus, il faut bien comprendre que les deux fréquences de 524 et de 531 sont obtenues à partir d'un calcul purement théorique qui empile une douzaine de quintes à l'octave supérieure, c'est-à-dire qu'en tout, il nous faut parcourir 19 octaves vers les aigüs pour aboutir à une telle différence, puis opérer un rétablissement sur une fréquence audible. Qu'en est-il dans la réalité pratique ?

Pour établir un échelonnement régulier à l'intérieur d'une octave, on utilise la racine douzième de deux (1,059463...).  Une fréquence double de valeur lorsqu'on la multiplie douze fois par ce nombre. Ce coefficient est une fonction de 2, donc une fonction d'octave. Comparons avec les résultats obtenus par un coefficient semblable basé sur la quinte.

Etablissons un deuxième échelonnement régulier avec la racine dix-neuvième de trois (1.059526). Il s'agit alors d'un coefficient tel que toute fréquence multipliée dix-neuf fois par ce nombre donnera la quinte située une octave plus haut. On peut également s'en servir pour calculer l'octave avec douze itérations. Comparons ces deux échelonnements en les basant sur un La 440 :

1.059463143348694      1.059526085853577

440                    440
466.163                466.191
493.883                493.942
523.252                523.344
554.365                554.497
587.329                587.504
622.254                622.475
659.255                659.529
698.456                698.788
739.989                740.384
783.991                784.456
830.609                831.152
880.000                880.627

Cette différence, appliquée par exemple à l'ajustement du chevalet d'une guitare, se traduirait par le fait que, passant du mode de calcul par octave à celui de quinte, il conviendrait d'avancer le chevalet de 4,7/10èmes de millimètre ... L'art musical ayant recours à environ sept octaves, l'erreur maximale entre deux instruments qui choisiraient chacun l'un des deux modes d'accordage en se calant sur une valeur moyenne commune serait de trois fois l'erreur observée ici. Cette différence d'ajustement infime demeure perceptible à une oreille particulièrement exercée mais encore conviendrait-il préciser lequel des deux instruments est dans l'erreur. Le problème n'est pas si simple qu'il y paraît. On a toujours considéré l'octave comme indiscutablement juste. Il n'y a, en fait, aucune raison théorique, et encore moins pratique, d'ajuster la quinte en fonction des données d'octaves. L'observation des façons de faire des musiciens qui accordent leur instrument à l'oreille (violonistes, guitaristes), montre qu'il préfèrent le plus souvent respecter la quinte juste. Etant donné le peu d'importance de l'octave dans la construction du domaine musicale, d'une part, et l'importance décisive de la quinte, dans cette construction d'autre part, il semble préférable de procéder ainsi.

Les gammes

Une gamme est un échelonnement du domaine sonore réduit à l'octave. La première gamme possible vient de nous être donnée par l'empilement des premières harmoniques impaires sur dix-neuf octaves :

        Fa, Do, Sol, Ré, La, Mi, Si, Fa#, Do#, Sol#, Ré#, La#, Fa

Rapportées à une seule octave, ces notes se présentent dans l'ordre mélodique usuel :

        Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si, Do, Do#, Ré, Ré#, Mi, Fa

Toute autre gamme ne sera rien d'autre qu'un sous-ensemble de cette "gamme mère" nommée gamme chromatique. La recherche des gammes présentant un intérêt musical ne consiste évidemment pas à dresser la liste (fort longue) de tous les sous-ensembles possibles. Un sous-ensemble comportant, par exemple, un chromatisme, pourra toujours être considéré comme une combinaison de deux gammes plus simples dont l'une sera la gamme chromatique. Des gammes usuelles, telles les quatre pentatoniques, appartenant entièrement à la gamme diatonique, ne seront pas prises en compte, mais figureront plus tard parmi les sous-ensembles de gamme que nous appellerons "modèles musicaux".

Pour rechercher les gammes de base, il convient de fixer quelques règles simples. La première est donc d'éviter l'effet de chromatisme qui se perçoit dès lors que trois notes se suivent sur des demi-tons. La seconde prendra en compte le fait qu'en dessous d'un certain nombre de notes, un sous-ensemble ne présente plus d'intérêt musical : que faire, par exemple, d'une gamme construite sur un espacement de secondes majeures? (Fa, La, Do#, Fa) ...

Voici la liste de toutes les gammes possibles, constituées de tons et de demi-tons disjoints:

Gamme par tons :

        Fa,      Sol,       La,      Si,     Do#,     Ré#,     Fa

Gamme par tons et demi-tons :

        Fa, Fa#,      Sol#, La,      Si, Do,      Ré, Ré#,     Fa

Gamme diatonique :

        Fa,      Sol,       La,      Si, Do,      Ré,      Mi, Fa

Gamme mineure mélodique :

        Fa,      Sol,       La,      Si,     Do#, Ré,      Mi, Fa

Il convient d'ajouter à cette liste un sous-ensemble composé de tierces mineures et de secondes mineures qui n'est pas réductible à une combinaison des gammes précédentes:

        Fa, Fa#,            La, La#,         Do#, Ré,          Fa

Les deux premières gammes sont dites symétriques parce qu'elles sont construites sur des espacements périodiques. Les deux suivantes sont dites asymétriques.

La gamme par tons est la plus pauvre de toutes, d'une part parce que la régularité de sa construction lui confère une couleur unique et très particulière, d'autre part parce qu'elle ne propose que deux représentants dans l'univers sonore selon que l'on commence sur une note paire ou impaire, donc deux tonalités. Tous les sous-ensembles de la gamme par tons ont une sonorité dure et typée.

La gamme par tons et demi-tons a une couleur chaude et douce, un caractère peu marqué. Elle permet trois tonalités.

La gamme diatonique (mal nommée puisque le terme signifie "par tons") est la plus riche et la plus utilisée. Elle présente de nombreuses particularités remarquables telle la pseudo-symétrie de ses deux moitiés :

Mi, Fa,      Sol,       La,       (Si)
Si, Do,      Ré,        Mi, (Fa)

ou encore le fait qu'elle corresponde à la première partie de la gamme chromatique présentée dans l'ordre harmonique,

Fa, Do, Sol, Ré, La, Mi, Si, ...

en se situant entre les deux notes qui généreraient un chromatisme :

(Sib), Fa, Do, Sol, Ré, La, Mi, Si, (Fa#)       soit :

Fa, Fa#, Sol,      La, Sib, Si, Do,     Ré,     Mi, Fa

La gamme diatonique autorise douze tonalités. De plus ces tonalités s'enchaînent comme par magie dans l'ordre harmonique montant ou descendant, lorsqu'on tente vainement de résoudre la pseudo-symétrie d'une façon ou d'une autre :

Abaissement du Si pour l'amener à parallélisme avec le Fa :

a) Mi, Fa,      Sol,       La, <-----(Si)
   Si, Do,      Ré,        Mi, (Fa)

b) Mi, Fa,      Sol,       La, (Sib)
   Sib,     Do,      Ré,        Mi,  (Fa)

c) La, Sib,     Do,        Ré,       (Mi)
   Mi, Fa,      Sol,       La, (Sib)

Elévation du Fa pour l'amener à parallélisme avec le Mi :

a) Mi, Fa,      Sol,       La,       (Si)
   Si, Do,      Ré,        Mi, (Fa)---->

b) Mi,     Fa#, Sol,       La,       (Si)
   Si, Do,      Ré,        Mi,       (Fa#)

c) Si, Do,      Ré,        Mi,       (Fa#)
   Fa#, Sol,    La,        Si, (Do)

Les notes exclues de ce système (Fa#, Do#, Sol#, Ré#, La#) ne le sont pas toutes au même titre. Les deux extrêmes (Fa# et Sib) induisent un changement de tonalité, comme nous venons de le voir. Les deux suivantes (Do# et Mib) peuvent produire des tensions intéressantes sans induire de changements de tonalité pour peu qu'elles aillent rapidement à résolution. Celle du milieu occupe une telle position d'équilibre (est-ce un Sol# ou un Lab?) qu'elle pourrait être considérée comme une huitième note si elle ne générait le chromatisme Sol, Sol#, La. On la considère généralement (à tort) comme la sensible du mode mineur de La. En réalité il ne s'agit de rien d'autre que de l'introduction d'une moitié de la gamme par tons et demi-tons dans la gamme diatonique, soit sous la forme,

          Sol#, La,      Si, Do,      Ré,      Mi, Fa,           Sol#
         ---------------------

soit sous la forme :

         Mi, Fa,      Sol, Lab,           Si, Do,      Ré,      Mi, Fa
         ---------------------

La gamme diatonique présente une autre particularité au niveau des deux premières harmoniques impaires (celles qui génèrent autre chose qu'une octave). Considérons les premières harmoniques d'un Fa :

Fréquence fondamentale (Fr)      :   Fa
Première harmonique    (Fr * 2)  :   Fa
Deuxième harmonique    (Fr * 3)  :   Do
Troisième harmonique   (Fr * 4)  :   Fa
Quatrième harmonique   (Fr * 5)  :   La

Nous obtenons les trois notes de l'accord majeur, Fa, Do et La. Réitérons l'opération sur la plus forte des deux nouvelles notes et nous obtiendrons Do, Sol et Mi. Réitérons encore pour obtenir enfin Sol, Ré, Si qui complètent la série de la gamme diatonique.

Généralisons maintenant cette formule à toutes les notes de la gamme diatonique :

F.   H3   H5

Fa,  Do,  La
Do,  Sol, Mi
Sol, Ré,  Si
Ré,  La,  Fa#
La,  Mi,  Do#
Mi,  Si,  Sol#
Si,  Ré#, Fa#

On constate que les degrés Fa, Do, Sol génèrent des premières harmoniques impaires qui appartiennent à la gamme diatonique ; ce sont les degrés forts. Pour Ré, La et Mi, seule la première harmonique impaire se situe dans la gamme diatonique ; ce sont les degrés faibles. Pour le Si, aucune harmonique ne se situe dans la gamme ; c'est le degré de sensible.

Les deux modulations qui permettent de descendre ou de monter, pas à pas, les douzes tonalités de la gamme diatoniques, ne sont pas tout à fait symétriques. Le fait que le degré de sensible n'ai pas d'harmoniques commune à sa gamme fait qu'on est facilement tenté de le bémoliser. On obtient alors les harmoniques

(Sib),  Ré,  Fa

qui appartiennent toutes deux à la gamme d'origine. La modulation descendante est douce; elle amène le degré le plus fort en lieu et place du plus faible. La modulation montante, en faisant l'inverse, introduit ce qu'on pourrait nommer une "sur-sensible" qui n'a aucune harmonique commune dans la gamme, ni dans la tonalité d'origine, ni dans la nouvelle tonalité. Elle amène le degré le plus faible en lieu et place du plus fort.

La gamme mineure mélodique (tout aussi mal nommée que la gamme diatonique), peut être considérée comme une combinaison de gamme par tons (Fa,      Sol,      La,      Si, Do#) et de gamme par tons et demi-tons (Do#, Ré,      Mi, Fa). La combinaison de cette couleur très dure à cette autre, très douce, lui confère un caractère de tension / résolution à la fois très marqué et très variable selon le placement dans un cadre général diatonique. Bien qu'elle permette également douze tonalités, elle est bien loin de pouvoir rivaliser avec la gamme diatonique en terme de souplesse, d'équilibre et de richesse. On peut la considérer comme une simple altération de la gamme diatonique par extention du triton Fa / Si (aspect gamme par tons), soit vers le haut,

a) Fa,    Sol,     La,    Si,     Do#, Ré,    Mi, Fa
   ------------------------------->

soit vers le bas,

b) Si, Do,    Ré, Mib,  Fa,    Sol,   La,    Si                                         
                    <--------------------------

ou comme une contraction des demi-tons autour de la sensible mineure mettant en évidence, une portion de gamme par tons et demi-tons, soit par le haut, c'est la plus usitée, parce que c'est la plus dure des quatre formes (2#),

c) Mi,    Fa#,   Sol#, La,   Si, Do,   Ré,   Mi
                 >>>>>>---------------------

soit par le bas :

d) Mi, Fa,    Sol, Lab,   Sib,   Do,   Ré,   Mi
   ------------------ <<<<<

Sans vouloir en dresser un tableau exhaustif, les placements de ces quatre formes dans un cadre diatonique, dans une même tonalité (0#b), sont différents les uns des autres. Les formes "a" et "b" ne peuvent guère se percevoir que dans leur entier puisqu'il s'agit de faire apparaître l'extension du triton, puis de résoudre la tension, do# par le Fa et Mib par le Si. La forme "a" s'utilisera donc dans un contexte de quatrième degré, de préférence en la montant, dans son entier. La forme "b" s'utilisera dans un contexte de septième degré, en la descendant, également dans son entier. Dans des emplois partiels, ces deux formes se résument à une introduction des deux tensions les plus courantes.

Les formes "b" et "c" peuvent trouver des emplois plus partiels. Deux altérations étant déclarées, il est capital d'exclure au plus vite la sensation de tonalité parallèle en précisant l'altération manquante (Fa#, Do#, Sol#, donc le Do et Sib, Mib, Lab, donc le Mi).

On pourra présenter une forme montante de "c", Mi, Fa#, Sol#, La, Si, Do dans un contexte de troisième degré et une forme descendante, La, Sol#, Fa#, Mi, Ré, Do, dans un contexte de sixième degré.

On pourra présenter une forme descendante de "d", Do, Sib, Lab, Sol, Fa, Mi, dans un contexte de premier degré et une forme montante, Sol, Lab, Sib, Do, Ré, dans un contexte de cinquième degré.

La gamme par demi-tons et tierces mineures, pour autant qu'on la reconnaisse comme une gamme à part entière, a une couleur à la fois dure et douce , très étrange, qui rappelle autant la gamme par tons (par les tierces majeures induites, Fa, La, Do#, Fa),

Fa, Fa#,         La, La#,      Do#, Ré,       Fa
Fa,      Sol,    La,     Si,   Do#,     Ré#,  Fa

que la gamme par tons et demi-tons (par les demi-tons périodiques et par les tierces mineures induites, Ré, Fa, La) :

Fa, Fa#,         La, La#,      Do#, Ré,       Fa
Fa, Fa#,   Sol#, La,   Si, Do,     Ré,  Ré#,  Fa

Mettre en rapport ces différentes gammes entre elles, comme nous l'avons fait au sujet de la gamme mineure ascendante, est plus une démarche pratique que théorique. Le goût, le style, le genre musical sont plus déterminants pour ce genre de rapprochements que la théorie la plus stricte qui ne peut finalement reconnaître qu'un seul point commun à ces différentes gammes, à savoir leur appartenance à la gamme chromatique.

Les écarts de la gamme diatonique

L'écart est à la musique ce que la syllabe est au langage. C'est le plus petit sous-ensemble d'une gamme. La présence de tons et de demi-tons dans la gamme diatonique fait que chaque écart à deux formes, une grande et une petite, une majeure et une mineure.

Secondes            Tierces                 Quartes

Fa - Sol            Fa - - - La             Fa - - - - - Si
Do - Ré             Do - - - Mi             Do - - - - Fa
Sol- La             Sol- - - Si             Sol- - - - Do
Ré - Mi             Ré - - Fa               Ré - - - - Sol
La - Si             La - - Do               La - - - - Ré
Mi Fa               Mi - - Sol              Mi - - - - La
Si Do               Si - - Ré               Si - - - - Mi

Quintes             Sixtes                  Septièmes

Fa - - - - - - Do   Fa - - - - - - - - Ré   Fa - - - - - - - - - - Mi
Do - - - - - - Sol  Do - - - - - - - - La   Do - - - - - - - - - - Si
Sol- - - - - - Ré   Sol- - - - - - - - Mi   Sol- - - - - - - - - Fa
Ré - - - - - - La   Ré - - - - - - - - Si   Ré - - - - - - - - - Do
La - - - - - - Mi   La - - - - - - - Fa     La - - - - - - - - - Sol
Mi - - - - - - Si   Mi - - - - - - - Do     Mi - - - - - - - - - Ré
Si - - - - - Fa     Si - - - - - - - Sol    Si - - - - - - - - - La

En allant des degrés fort vers les faibles, on voit que les écarts passent de majeur à mineur. Le degré le plus fort ne porte que des écarts montants majeurs. Le degré le plus faible ne porte que des écarts montants mineurs. Dès qu'un écart est renversé, sa "polarité" s'inverse: Do/La, sixte majeure, devient La/Do, Tierce mineure, etc.

Bien que tout écart supérieur à la quarte soit un renversement des trois couleurs primaires, seconde, tierce, quarte, au sens de l'équivalence de renversement, il convient de considérer les écarts pour ce qu'ils sont : Une quinte ne sonne pas du tout comme une quarte, etc.

Ecarts et degrés

Les écarts à un degré n'ont pas tous la même valeur, la même qualité de consonnance. Le plus consonant des écarts est bien sûr la quinte puisqu'elle est introduite par la première harmonique impaire. Plaçons les écarts de Fa dans l'ordre des quintes :

Fa               Do  Sol  Ré  La   Mi   Si
Fondamentale     5    2   6    3    7   4

La quinte est fondatrice du concept de degré parce que c'est l'écart le plus consonant. La seconde introduit (dans ses renversements) une deuxième quinte, la quinte de la quinte, provoquant ainsi une désagréable incertitude dans la perception du degré. La sixte introduit de même une tierce inférieure qui, dans ses renversements, risque fort de construire une quinte avec la tierce de la fondamentale. La tierce ne pose aucun problème (elle est introduite par la deuxième harmonique impaire). La septième, bien que moins consonante que la tierce, ne crée pas de conflit particulier. La quarte crée à peu près la même incertitude que la seconde puisqu'elle fait apparaître une nouvelle quinte, juste sous la fondamentale.

En terme de consonance à l'intérieur d'un degré, le meilleur écart est donc la quinte, les bons écarts, la tierce et la septième, les mauvais, la sixte et la quarte, le plus mauvais, la seconde. Sur un accompagnement donné, la construction la plus dissonante s'obtiendra en jouant l'accord parfait à la seconde supérieure.

Les modèles musicaux

Un modèle se caractérise, en tout premier lieu, par le nombre des notes différentes qui le constituent. Ce nombre doit donc être supérieur à 1 et inférieur au nombre de notes de la gamme d'origne.

Seuls les modèles de la gamme diatonique de 3, 4 et 5 notes seront présentés ici. Le calcul par ordinateur de tous les modèles possibles sur la totalité des gammes (et donc sur la gamme chromatique qui les contient toutes), montre que, de fait, l'étude de la gamme diatonique, suffit à couvrir la quasi totalité des modèles, pour peu qu'on tienne compte, sur les séries concernées de la possibilité d'altération par la sensible mineure. N'échapperont à cette étude que quelques modèles comportant des chromatismes et quelques modèles typiques de la gamme par tons et demi-tons dont la couleur douce apporte peu d'enrichissement, ou typiques de la gamme par tons, plus intéressants, mais très peu nombreux et faciles à trouver.

Calcul du nombre de modèles

Il existe une formule mathématique répondant à ce problème :

                       n!
               _______________

                 r!  ×  (n - r)!

où      n = nombre de notes dans la gamme
          r = nombre de notes dans le modèle

Pour les modèles de trois notes, on obtient :

   7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1             5040
 _____________________________   =  _______   =    35  modèles

 (3 × 2 × 1) × (4 × 3 × 2 × 1)           144

Pour les modèles de quatre notes :

   7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1             5040
 _____________________________   =  _______   =    35  modèles

 (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)           144
 
Pour les modèles de cinq notes :

   7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1             5040
 _____________________________   =  _______   =     21 modèles

 (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1)           240

Les calculs pour 2 et 6 notes auraient fourni 21 et 7 modèles.

Commençons par les modèles de quatre notes. Ils sont ceux qui présentent le plus de richesse, de variété. On pourra, par ailleurs toujours considérer les modéles de trois notes comme des modèles de quatre moins une note et ceux de cinq comme des quatre plus un. A eux seuls, les modèles de quatre notes suffisent largement à créer un système riche, varié et complet.

Liste des modèles de quatre notes

Fa  Sol  La  Si  -   -   -
Fa  Sol  La  -   Do  -   -
Fa  Sol  -   Si  Do  -   -
Fa   -   La  Si  Do  -   -
-   Sol  La  Si  Do  -   -
Fa  Sol  La  -   -   Ré  -
Fa  Sol  -   Si  -   Ré  -
Fa   -   La  Si  -   Ré  -
-   Sol  La  Si  -   Ré  -
Fa  Sol  -   -   Do  Ré  -
Fa   -   La  -   Do  Ré  -
-   Sol  La  -   Do  Ré  -
Fa   -   -   Si  Do  Ré  -
-   Sol  -   Si  Do  Ré  -
-    -   La  Si  Do  Ré  -
Fa  Sol  La  -   -   -   Mi
Fa  Sol  -   Si  -   -   Mi
Fa   -   La  Si  -   -   Mi
-   Sol  La  Si  -   -   Mi
Fa  Sol  -   -   Do  -   Mi
Fa  -    La  -   Do  -   Mi
-   Sol  La  -   Do  -   Mi
Fa   -   -   Si  Do  -   Mi
-   Sol  -   Si  Do  -   Mi
-    -   La  Si  Do  -   Mi
Fa  Sol  -   -   -   Ré  Mi
Fa   -   La  -   -   Ré  Mi
-   Sol  La  -   -   Ré  Mi
Fa   -   -   Si  -   Ré  Mi
-   Sol  -   Si  -   Ré  Mi
-    -   La  Si      Ré  Mi
Fa   -   -   -   Do  Ré  Mi
-   Sol  -   -   Do  Ré  Mi
-    -   La  -   Do  Ré  Mi
-    -   -   Si  Do  Ré  Mi

Classement des modèles de quatre notes

Lorsqu'on présente, comme c'est le cas ici, les occurences dans l'ordre des secondes, on voit que un cinquème des modèles est réellement formé d'une succession de secondes. En les présentant dans l'ordre des tierces, puis dans l'ordre des quartes, on verrait que deux autres cinquièmes sont réellement formés de successions de tierces et de quartes. Les deux cinquièmes restants, sont formés, l'un de secondes précédées d'une tierce, l'autre de secondes précédées d'une quarte. L'ensemble des modèles de quatre notes se répartit donc exactement sur cinq couleurs, couleur de seconde, de tierce, de quarte, de seconde tiercée et de seconde quartée :

Modèles       Modèles de    Modèles       Modèles de    Modèles
de tierces    secondes      de            Secondes      de quartes
              tiercées      secondes      quartées

Fa La Do Mi   Fa La Si Do   Fa Sol La Si  Fa Si Do Ré   Fa Si Mi La
Do Mi Sol Si  Do Mi Fa Sol  Do Ré Mi Fa   Do Fa Sol La  Do Fa Si Mi
Sol Si Ré Fa  Sol Si Do Ré  Sol La Si Do  Sol Do Ré Mi  Sol Do Fa Si
Ré Fa La Do   Ré Fa Sol La  Ré Mi Fa Sol  Ré Sol La Si  Ré Sol Do Fa
La Do Mi Sol  La Do Ré Mi   La Si Do Ré   La Ré Mi Fa   La Ré Sol Do
Mi Sol Si Ré  Mi Sol La Si  Mi Fa Sol La  Mi La Si Do   Mi La Ré Sol
Si Ré Fa La   Si Ré Mi Fa   Si Do Ré Mi   Si Mi Fa Sol  Si Mi La Ré

Ce tableau est classé verticalement mais pas encore horizontalement puisque nous ne savons pas à quel degré correspond chaque modèle. Question : Si l'on choisit un modèle, par exemple le premier modèle de tierce, quels sont les modèles des autres couleurs qui lui correspondent, qui sont en consonance maximum avec lui, en un mot, qui appartiennent au même degré?

Traduisons les notes de ce tableau en degrés :

 4---6--1---3+  T4---6-71   T4-5-6-7   T4-----71-2   T4-----7----3----6
 1---3--5---7+   1---34-5+   1-2-34+    1----4-5-6+  T1----4-----7----3
T5---7--2--4     5---71-2+   5-6-71+    5----1-2-3¦  T5----1----4-----7
 2--4---6--1+    2--4-5-6+   2-34-5+    2----5-6-7+   2----5----1----4+
 6--1---3--5¦    6--1-2-3¦   6-71-2+    6----2-34+    6----2----5----1¦
 3--5---7--2+    3--5-6-7+   34-5-6+    3----6-71+    3----6----2----5¦
T7--2--4---6    T7--2-34     71-2-3+   T7----34-5     7----3----6----2+

Les tirets figurent les écarts entre deux notes. Les formes identiques sont marquées par une accolades. Les formes uniques, marquées par un "T" (pour triton) contiennent toutes les degrés 7 et 4, ce qui correspond, en tonalité 0#b à l'écart Si/Fa, écart de quinte mineure, unique dans la gamme diatonique (toutes les autres quintes sont majeures). Ce triton (Fa Sol La Si) suffit, à lui seul à fixer une tonalité. Tout modèle tritonique définit donc une tonalité précise. Les modèles tritoniques sont tous quandidats (mais pas élus) au degré de sensible.

Pour classer ce tableau dans l'ordre naturel des degrés, il suffirait, au regard des observations précédentes sur les écarts, de placer le plus large en haut et le plus court en bas. Cette règle est applicable directement pour la couleur de tierce qui ne pose aucun problème. L'empilement de tierces Fa, La, Do, Mi est bien imputable au quatrième degré puisqu'il vient en tête du classement par taille, qu'il contient la quinte Fa/Do et les meilleurs écarts possibles pour ce degré.

Pour les secondes, un seul petit problème : La seule quinte présente apparaît sous forme de quarte. Il faut donc inverser le critère de taille (Quinte majeure > Quarte mineure). Pour les modèles quartes le problème est plus ardu : Trois quintes apparaissent sous formes de quartes. Quelle est la bonne?

Pour ce que nous sommes convenus d'appeler secondes tiercées et secondes quartées, le problème devient complétement insoluble : Faut-il écrire 4---6-71 ou 6-71----4 ? Faut-il écrire 4-----71-2 ou 71-2----4 ? Deux quartes étant présentes dans chacun de ces deux modèles, laquelle choisir et pourquoi ?

Principe de la modulation chromatique

Simplifions encore notre tableau en remplaçant les degrés par de simples points et en ne concervant qu'un modèle par forme (quatre formes) :

 o---o--o---o  o---o-oo  o-o-o-o  o-----oo-o  o-----o----o----o
 o---o--o--o   o---oo-o  o-o-oo   o----o-o-o  o----o-----o----o 
 o--o---o--o   o--o-o-o  o-oo-o   o----o-oo   o----o----o-----o 
 o--o--o---o   o--o-o    oo-o-o   o----oo-o   o----o----o----o 

o---o--o---o  o---o-oo  o-o-o-o  o-----oo-o  o-----o----o----o 
...

A l'intérieur de chaque couleur, apparaît une progression régulière ; chaque note, à tour de rôle, est abaissée (en lisant de haut en bas) de un demi- ton. Le cinquième pas correspond au premier, un demi-ton plus bas.

Supposons maintenant que le classement définitif des modèles soit établi et que deux musiciens jouent ensemble en recherchant la consonance maximum, sans pour autant jouer à l'unisson et en jouant des modèles de couleurs différentes. Supposons qu'à chaque mesure, ils modulent ensemble selon le principe de la modulation chromatique. On est en droit d'attendre, qu'à chaque mesure, ils jouent tous deux dans la même tonalité. Quelles sont les quatre tonalités traversées par la modulation chromatique des modèles à quatre notes ?

Reprenons le tableau en degrés. On voit que dans la couleur de quarte, trois modèles tritoniques se suivent :

 4---6--1---3+ T4---6-71  T4-5-6-7  T4-----71-2  T4-----7----3----6 * a
 1---3--5---7+  1---34-5+  1-2-34+   1----4-5-6+ T1----4-----7----3 * b
T5---7--2--4    5---71-2+  5-6-71+   5----1-2-3¦ T5----1----4-----7 * c
 2--4---6--1+   2--4-5-6+  2-34-5+   2----5-6-7+  2----5----1----4+
 6--1---3--5¦   6--1-2-3¦  6-71-2+   6----2-34+   6----2----5----1¦
 3--5---7--2+   3--5-6-7+  34-5-6+   3----6-71+   3----6----2----5¦
T7--2--4---6   T7--2-34    71-2-3+  T7----34-5    7----3----6----2+

A la forme "b" des quartes, doit absolument correspondre un modèle tritonique dans les autres couleurs. Si ce n'était pas le cas, lorsqu'un musicien modulerait en couleur de quarte de "a" vers "b" ou de "b" vers "c", l'autre ne le ferait pas. Exemple :

           __ _____ _____ _____ __ _____ _____ _____
Secondes  +-- -- -- -- -- -- --+-- -- -- -- -- -- --+
           __ __ __ ___________ __ __ __ ___________
Quartes   +-- -- -- -- -- -- --+-- -- -- -- -- -- --+
           a  b  c 

Posons la tonalité du modèle de quarte "b" à 0#b. Au regard d'une modulation chromatique, qui se boucle un demi-ton plus bas, chaque pas des sept degrés correspond à l'ajout de un bémol (demi-ton à sept bémols). Les tonalités de la progression chromatique de quarte sont donc :

          0#b,       1b,     2,3,4 ou 5b,     6b

Rapprochons les modèles de secondes. L'unique modèle tritonique est donc à 0#b et les tonalités possibles sont :

          0#b,     1 ou 2b,    3 ou 4b,     5 ou 6b

Plaçons le modèle tritonique de secondes en face du "b" des quartes (c'est la seule solution possible) :

             __ _____ _____ _____ __ _____ _____ _____
Secondes    +-- -- -- -- -- -- --+-- -- -- -- -- -- --+
          __ __ __ ___________ __ __ __ ___________
Quartes  +-- -- -- -- -- -- --+-- -- -- -- -- -- --+
              a  b  c

Si les progressions chromatiques de secondes et de quartes sont exécutées en même temps, les tonalités se réduisent à :

        0#b,       1b,       3 ou 4b,        6b

Rapprochons les modèles de tierces (une seule solution) :

                _____ __ ________ __._____ __ ________ __
Tierces        +-- -- -- -- -- -- --+-- -- -- -- -- -- --+
             __ _____ _____ _____ __ _____ _____ _____
Secondes    +-- -- -- -- -- -- --+-- -- -- -- -- -- --+
          __ __ __ ___________ __ __ __ ___________
Quartes  +-- -- -- -- -- -- --+-- -- -- -- -- -- --+
          a  b  c              *  *   *    *

Les tonalités de la modulation chromatique des modèles de quatre notes sont donc :

        0#b,       1b,       3b,       6b

Alignons maintenant les secondes tiercées et les secondes quartées selon le même principe. Une seule solution :

3)             _____ __ ________ __._____ __ ________ __
23)            __ _____ ________ __.__ _____ ________ __
2)          __ _____ _____ _____ __ _____ _____ _____
24)            __ ________ _____ __.__ ________ _____ __
4)       __ __ __ ___________ __ __ __ ___________
                                 0#b

En résumé, les modèles des cinq couleurs de la tonalité 0#b sont donc, par rapport au tableau initial, les derniers modèles de tierces, de secondes tiercées et de secondes quartées, le premier modèle de secondes et le deuxième modèle de quartes, soit :

7--2--4---6     7--2-34     4-5-6-7       7----34-5    1----4-----7----3
Si Ré Fa La   Si Ré Mi Fa  Fa Sol La Si  Si Mi Fa Sol   Do Fa Si Mi

Les degrés modulant de cette progression chromatique sont 7, 4, 5, 3.

Il en découle que la totalité des modèles, dans les cinq couleurs, sont classés également pour le cadre diatonique :

Modèles       Modèles de    Modèles       Modèles de    Modèles
de tierces    secondes      de            Secondes      de quartes
              tiercées      secondes      quartées

Fa La Do Mi   Fa La Si Do   Fa Mi Ré Do   Fa Si Do Ré   Sol Do Fa Si
Do Mi Sol Si  Do Mi Fa Sol  Do Si La Sol  Do Fa Sol La  Ré Sol Do Fa
Sol Si Ré Fa  Sol Si Do Ré  Sol Fa Mi Ré  Sol Do Ré Mi  La Ré Sol Do
Ré Fa La Do   Ré Fa Sol La  Ré Do Si La   Ré Sol La Si  Mi La Ré Sol
La Do Mi Sol  La Do Ré Mi   La Sol Fa Mi  La Ré Mi Fa   Si Mi La Ré
Mi Sol Si Ré  Mi Sol La Si  Mi Ré Do Si   Mi La Si Do   Fa Si Mi La
Si Ré Fa La   Si Ré Mi Fa   Si La Sol Fa  Si Mi Fa Sol  Do Fa Si Mi

Voyons la répartion des modèles d'un degré (Fa) exprimée dans l'ordre naturel :

3)   Fa  Do  --   --  La  Mi  --
23)  Fa  Do  --   --  La  --  Si
2)   Fa  Do  --   Ré  --  Mi  --
24)  Fa  Do  --   Ré  --  --  Si
4)   Fa  Do  Sol  --  --  --  Si

Les cinq modèles qui occupent un degré forment un ensemble cohérent. Les deux notes mobiles ne s'écartent, au maximum, que d'une quinte autour d'une position centrale de seconde, assurant ainsi une consonnance maximale.

Liste des modèles de cinq notes

Fa   Sol  La   Si   Do   --   --
Fa   Sol  La   Si   --   Ré   --
Fa   Sol  La   --   Do   Ré   --
Fa   Sol  --   Si   Do   Ré   --
Fa   --   La   Si   Do   Ré   --
--   Sol  La   Si   Do   Ré   --
Fa   Sol  La   Si   --   --   Mi
Fa   Sol  La   --   Do   --   Mi
Fa   Sol  --   Si   Do   --   Mi
Fa   --   La   Si   Do   --   Mi
--   Sol  La   Si   Do   --   Mi
Fa   Sol  La   --   --   Ré   Mi
Fa   Sol  --   Si   --   Ré   Mi
Fa   --   La   Si   --   Ré   Mi
--   Sol  La   Si   --   Ré   Mi
Fa   Sol  --   --   Do   Ré   Mi
Fa   --   La   --   Do   Ré   Mi
--   Sol  La   --   Do   Ré   Mi
Fa   --   --   Si   Do   Ré   Mi
--   Sol  --   Si   Do   Ré   Mi
--   --   La   Si   Do   Ré   Mi

Classement des modèles de cinq notes

Les modèles de cinq notes ne contiennent que les trois couleurs primaires, seconde, tierce et quarte :

Modèles de             Modèles de             Modèles de
secondes               tierces                quartes

Fa, Sol,La, Si, Do     Fa, La, Do, Mi, Sol    Fa, Si, Mi, La, Ré
Do, Ré, Mi, Fa, Sol    Do, Mi, Sol,Si, Ré     Do, Fa, Si, Mi, La
Sol,La, Si, Do, Ré     Sol,Si, Ré, Fa, La     Sol,Do, Fa, Si, Mi
Ré, Mi, Fa, Sol,La     Ré, Fa, La, Do, Mi     Ré, Sol,Do, Fa, Si
La, Si, Do, Ré, Mi     La, Do, Mi, Sol,Si     La, Ré, Sol,Do, Fa
Mi, Fa, Sol,La, Si     Mi, Sol,Si, Ré, Fa     Mi, La, Ré, Sol,Do
Si, Do, Ré, Mi, Fa     Si, Ré, Fa, La, Do     Si, Mi, La, Ré, Sol

Les secondes et les tierces ne pose pas de problème de classement. Les secondes commançant par la fondamentale et terminant par la quinte sont indiscutablement liées à un degré précis. De même, la couleur de tierce est bien un empilement sur une fondamentale confirmée par la quinte. La couleur de quarte pose de nombreux problèmes de classement.

Traduction en degrés :

T1 4-5-6-71        4---6--1---3--5+   T1 4-----7----3----6----2
   1-2-34-5+       1---3--5---7--2+   T2 1----4-----7----3----6
   5-6-71-2+    T1 5---7--2--4---6    T3 5----1----4-----7----3
   2-34-5-6+       2--4---6--1---3+   T4 2----5----1----4-----7
   6-71-2-3+       6--1---3--5---7+      6----2----5----1----4+
T2 34-5-6-7     T2 3--5---7--2--4        3----6----2----5----1¦
T3 71-2-34      T3 7--2--4---6--1        7----3----6----2----5+

Traduction en réglets pour la modulation chromatique :

T1  - - -           --- -- --- -- +   T1  ----- ---- ---- ---- 
    - -  - +        --- -- --- -- +   T2  ---- ----- ---- ---- 
    - -  - +    T1  --- -- -- ---     T3  ---- ---- ----- ---- 
    -  - - +        -- --- -- --- +   T4  ---- ---- ---- ----- 
    -  - - +        -- --- -- --- +       ---- ---- ---- ---- +
T2   - - -      T2  -- --- -- --          ---- ---- ---- ---- ¦
T3   - -        T3  -- -- --- --          ---- ---- ---- ---- +

Traduction en réglets pour la mise en parallèle. Deux ajustement sont mécaniquement possibles :

2  __ _____ _____ __ __.__ _____ _____ __ __
3  _____ __ _____ __ __._____ __ _____ __ __
4              __ __ __ __ ________.__ __ __ __ ________

2  __ _____ _____ __ __.__ _____ _____ __ __
3     _____ __ _____ __ __._____ __ _____ __ __
4                 __ __ __ __ ________.__ __ __ __ ________

A l'aplomb du dernier modèle de seconde (un septième degré), on retrouve bien sûr des modèles contenant tous la quinte 7/4. La solution 2 fait apparaître, en couleur de tierce, le modèle T2, 3--5---7--2--4 que son couple de quintes inférieure conduit à classer de préférence en troisième degré. Ne reste donc que la solution 1. Pour un quatrième degré en tonalité 0#b, on obtient :

3) Fa   Do   Sol  --    La   Mi   --
2) Fa   Do   Sol  --    La   --   Si
4) Fa   Do   Sol  Ré    --   --   Si

Les "degrés modulants" de la progression chromatique des modèles de cinq notes sont 4, 5, 6, 3 et 7.

Liste des modèles de trois notes

Fa  Sol  La  --  --  --  --
Fa  Sol  --  Si  --  --  --
Fa  --   La  Si  --  --  --
--  Sol  La  Si  --  --  --
Fa  Sol  --  --  Do  --  --
Fa  --   La  --  Do  --  --
--  Sol  La  --  Do  --  --
Fa  --   --  Si  Do  --  --
--  Sol  --  Si  Do  --  --
--  --   La  Si  Do  --  --
Fa  Sol  --  --  --  Ré  --
Fa  --   La  --  --  Ré  --
--  Sol  La  --  --  Ré  --
Fa  --   --  Si  --  Ré  --
--  Sol  --  Si  --  Ré  --
--  --   La  Si  --  Ré  --
Fa  --   --  --  Do  Ré  --
--  Sol  --  --  Do  Ré  --
--  --   La  --  Do  Ré  --
--  --   --  Si  Do  Ré  --
Fa  Sol  --  --  --  --  Mi
Fa  --   La  --  --  --  Mi
--  Sol  La  --  --  --  Mi
Fa  --   --  Si  --  --  Mi
--  Sol  --  Si  --  --  Mi
--  --   La  Si  --  --  Mi
Fa  --   --  --  Do  --  Mi
--  Sol  --  --  Do  --  Mi
--  --   --  Si  Do  --  Mi
Fa  --   --  --  --  Ré  Mi
--  Sol  --  --  --  Ré  Mi
--  --   La  --  --  Ré  Mi
--  --   --  Si  --  Ré  Mi
--  --   --  --  Do  Ré  Mi

Fa  Sol  La  Si  Do  Ré  Mi

Classement des modèles de trois notes

Les modèles de trois notes présentent 5 couleurs. Les trois couleurs primaires, seconde, tierce et quarte, et deux couleurs secondaires que nous appellerons seconde tiercée (rien à voir avec la seconde tiercée à quatre notes) et tierce secondée.

   3             23           2            32           4

Fa La Do      Do Ré Fa    Fa Sol La    Do Mi Fa     Do Fa Si
Do Mi Sol     Sol La Do   Do Ré Mi     Sol Si Do    Sol Do Fa
Sol Si Ré     Ré Mi Sol   Sol La Si    Ré Fa Sol    Ré Sol Do
Ré Fa La      La Si Ré    Ré Mi Fa     La Do Ré     La Ré Sol
La Do Mi      Mi Fa La    La Si Do     Mi Sol La    Mi La Ré
Mi Sol Si     Si Do Mi    Mi Fa Sol    Si Ré Mi     Si Mi La
Si Ré Fa      Fa Sol Si   Si Do Ré     Fa La Si     Fa Si Mi

Les modèles de tierces sont classés ; les quintes sont apparentes dans l'ordre de la couleur. Les modèles de couleurs secondaires présentent une quinte sous forme de quarte (donc, inversion du critère de taille). Les secondes et les quartes sont problèmatiques; les premières parce qu'elles n'ont pas de quinte, les deuxièmes parce qu'elles en ont deux sous formes de quartes.

Traduction en réglets pour la progression chromatique :

   3           23          2         32          4

--- -- +     - -- +     - - +     ---  +    ---- ----- 
--- -- ¦     - -- ¦     - - ¦     ---  +    ---- ---- +
--- -- +     - -- ¦     - - +     -- - +    ---- ---- ¦
-- --- +     - -- +     -  +      -- - ¦    ---- ---- ¦
-- --- ¦      --- +     -  +      -- - ¦    ---- ---- ¦
-- --- +      --- +      - +      -- - +    ---- ---- +
-- -- *     - --- *      - +     --- - *   ----- ---- 

3)  ________ ________ __.________ ________ __
23) ___________ _____ __.___________ _____ __
2)  ________ _____ _____.________ _____ _____
32) _____ ___________ __._____ ___________ __
4)  __ ______________ __.__ ______________ __

Les modèles tritoniques de seconde, de seconde tiercée et de tierce secondée étant reconnus comme septièmes degrés, leurs couleurs sont parallèlisées. Reste à ajuster les quartes et les secondes ; quatre solutions :

3)   ________ ________ __.________ ________ __
23)  ___________ _____ __.___________ _____ __
2)   ________ _____ _____.________ _____ _____
32)  _____ ___________ __._____ ___________ __
4)   __ ______________ __.__ ______________ __
                          *
3)   ________ ________ __.________ ________ __
23)  ___________ _____ __.___________ _____ __
2)      ________ _____ _____.________ _____ _____
32)  _____ ___________ __._____ ___________ __
4)                     __ ______________ __.__ ______________ __
                          *
3)   ________ ________ __.________ ________ __
23)  ___________ _____ __.___________ _____ __
2)         ________ _____ _____.________ _____ _____
32)  _____ ___________ __._____ ___________ __
4)   __ ______________ __.__ ______________ __
                          *
3)   ________ ________ __.________ ________ __
23)  ___________ _____ __.___________ _____ __
2)            ________ _____ _____.________ _____ _____
32)  _____ ___________ __._____ ___________ __
4)                     __ ______________ __.__ ______________ __
                          *

On s'intéresse aux modèles de septième degré. Les solutions 2 et 4 proposent la quandidature des modèles de seconde 3, 4, 5 et 2, 3, 4 qui ne contiennent pas la fondamentale recherchée (7). La solution 3 propose, toujours en couleur de seconde, le modèle 6, 7, 1 qui, pour un septième degré contiendrait le plus mauvais écart. On choisira donc la solution 1 qui donne, pour un quatrième degré en tonalité 0#b :

3)   Fa  Do  --   --  La  --  --
23)  Fa  Do  --   Ré  --  --  --
2)   Fa  --  Sol  --  La  --  --
32)  Fa  Do  --   --  --  Mi  --
4)   Fa  Do  --   --  --  --  Si

Les degrés modulants de la progression chromatique des modèles de trois notes sont 4, 6 et 7.

Récapitulatif des degrés modulants dans les trois genres :

Modèles de trois notes  :    4         6         7
Modèles de quatre notes :    4    5         3    7
Modèles de cinq notes   :    4    5    6    3    7

Récapitulatif d'un quatrième degré pour les trois couleurs primaires et dans les trois genres:

Tierces               Fa  La  Do
                      Fa  La  Do  Mi
                      Fa  La  Do  Mi  Sol

Secondes              Fa  Sol  La
          Do  Ré  Mi  Fa
                      Fa  Sol  La  Si  Do

Quartes           Do  Fa  Si
             Sol  Do  Fa  Si
         Ré  Sol  Do  Fa  Si

Les modèles de deux notes et de six notes ne sont pas classables. Les premiers doivent être considérés comme des écarts et non comme des modèles. Les seconds n'ont pas de couleur caractèristique ou, plutôt, les contiennent toutes : On ne peut pas savoir, en retirant une note d'une gamme diatonique, si le résultat est une série de secondes, de tierces ou de quartes.